Question

10．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．若正方形的边长为2，（1）求证：∠DAG=∠ABE；
（2）若P是AB的中点，E在运动过程中，PH的值是否发生变化？若不变，请求出PH的值并说明理由；
（3）在（2）的条件下请求出DH的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠DCG，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE，然后求出∠AHB=90°，再用直角三角形斜边的中线是斜边的一半，
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接PD，然后求出PH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出PD，然后根据三角形的三边关系可知当P、D、H三点共线时，DH的长度最小．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA=90°}\\{AE=DF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG=45°}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE
（2）∵∠DAG=∠ABE，∠DAG+∠BAH=90
∴∠ABE+∠BAH=90
∴∠AHB=90°，
又∵P是AB中点
∴PH是Rt△AHB斜边上中线
∴PH=$\frac{1}{2}AB$=1，是定值；
（3）如图2，

连接PD，DH，
则PH=AP=$\frac{1}{2}$AB=1cm，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
根据三角形的三边关系，PH+DH＞PD，
∴当P、D、H三点共线时，DH的长度最小，
∴DH的最小值=PD-PH=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．