Question

11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E，连接AE．
（1）若D为AC的中点，连接DE，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BE=3EC，求tan∠ABC．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由AB是⊙O的直径，AC是圆⊙O的切线，推得AE⊥BC，AC⊥AB，在直角△AEC中，由D为AC的中点，证得DE=DC，进而证得∠DEC=∠DCE，从而证得∠DEC+∠OEB=∠DCE+∠OBE=90°，故有∠DEO=180°-90°=90°，可证得结论；
（2）由∠EAC+∠EAB=90°，∠EBA+∠EAB=90°，证得∠EAC=∠EBA，可证得△EAC∽△EBA，根据相似三角形的性质可求出$EA=\sqrt{3}$，根据正切函数的定义即可求得tan∠ABC的值．

解答 证明：（1）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，AC是圆⊙O的切线，
∴AE⊥BC，AC⊥AB，
在直角△AEC中，
∵D为AC的中点，
∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
∵∠OEB=∠OBE，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠OEB=∠DCE+∠OBE=90°，
∴∠DEO=180°-90°=90°，∴OE⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；

（2）在直角△EAC与直角△EBA中，
∵∠EAC+∠EAB=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠EAC=∠EBA，
∴△EAC∽△EBA，
∴$\frac{EA}{EC}=\frac{EB}{EA}$，EA²=EB•EC，
设EC=1，则EB=3，
EA²=EB•EC=3，$EA=\sqrt{3}$，
在直角△AEB中，$tan∠ABC=\frac{EA}{EB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边上的中线的性质，切线的性质和判定定理，相似三角形的判定和性质，正切三角函数的定义等知识，综合能力强，熟练掌握切线的性质和判定是解决问题的关键．