Question

2．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积；
（3）点M是直线AB第一象限内图象上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若△MON的面积大于△BOD的面积，直接写出点M的横坐标x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，再将x=3代入反比例函数解析式解得n的值，由此得出B点的坐标，结合A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，在y轴上任选一点不同于P点的P′点，由三角形内两边之和大于第三边来验证点P就是我们找到的使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x=0即可得出P点的坐标；再结合三角形的面积公式与点到直线的距离即可求出△PAB的面积；
（3）设出点M的坐标，由MN⊥x轴，BD⊥y轴，可得出N、D的坐标，结合三角形的面积公式即可得出关于x的一元二次不等式，解不等式即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（1，6）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$中，
得6=$\frac{m}{1}$，即m=6．
故反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．
∵点B（3，n）在反比例函数y=$\frac{6}{x}$上，
∴n=$\frac{6}{3}$=2．
即点B的坐标为（3，2）．
将点A（1，6）、点B（3，2）代入y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$．
故一次函数的解析式为y=-2x+8．
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图1所示．

在y轴上任取一点P′（不同于点P），
∵A、A′关于y轴对称，
∴AP=A′P，AP′=A′P′，
在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP，
∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小．
∵点A的坐标为（1，6），
∴点A′的坐标为（-1，6）．
设直线A′B的解析式为y=ax+b，
将点A′（-1，6）、点B（3，2）代入到y=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{6=-a+b}\\{2=3a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直线A′B的解析式为y=-x+5，
令x=0，则有y=5．
即点P的坐标为（0，5）．
直线AB解析式为y=-2x+8，即2x+y-8=0．
AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（2-6）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，点P到直线AB的距离d=$\frac{|5-8|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$AB•D=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=3．
（3）依照题意作出图形，如图2所示．

设M点的坐标为（x，-2x+8），则N点的坐标为（x，0）．
∵点B为（3，2），
∴点D为（0，2）．
∴OD=2，BD=3，ON=x，MN=8-2x．
∵△MON的面积大于△BOD的面积，
∴$\frac{1}{2}$ON•MN＞$\frac{1}{2}$OD•BD，即x（8-2x）＞2×3，
解得：1＜x＜3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次不等式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）算出B点的坐标；（2）找到P点的位置；（3）得出关于x的一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．