Question

3．如图，己知MN是⊙O的直径，P为⊙O上一点，NP平分∠MNQ，且NQ⊥PQ．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R=2，NP=2$\sqrt{3}$，求NQ的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，PM，由角平分线的定义得到∠QNP=∠PNM，由等腰三角形的性质得到∠OPN=∠ONP，等量代换得到∠OPN=∠QNP，根据平行线的判定定理得到OP∥NQ，根据平行线的性质得到OP⊥PQ，即可得到结论；
（2）连结PM，根据圆周角定理由MN是⊙O的直径得到∠MPN=90°，易证得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出NQ的长．

解答 （1）证明：连接OP，PM，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠QNP=∠PNM，
∵OP=ON，
∴∠OPN=∠ONP，
∴∠OPN=∠QNP，
∴OP∥NQ，
∵NQ⊥PQ，
∴OP⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线；

（2）解：连结PM，如图，
∵MN是⊙O的直径，
∴∠MPN=90°，
∵NQ⊥PQ，
∴∠PQN=90°，
而∠MNP=∠QNP，
∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，
∴$\frac{NP}{NQ}=\frac{MN}{NP}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{NQ}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴NQ=3．

点评 本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线 的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握的作出正方形是解题的关键．