Question

16．如图（1），将线段AB绕点A逆时针旋转2α（0°＜α＜90°）至AC，P是过A，B，C的三点圆上任意一点．
（1）当α=30°时，如图（1），求证：PC=PA+PB；
（2）当α=45°时，如图（2），PA，PB，PC三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明理由；若不具有，请探索它们的数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先在PC上截取PD=PA，易知△ABC是等边三角形，可得△PAD是等边三角形，继而可证明△ACD≌△BAP，则CD=PB，从而得出PC=PB+PA；
（2）PC=$\sqrt{2}$PA+PB，作AD⊥AP与PC交于一点D，易证△ACD≌△ABP，则CD=PB，AD=AP，根据勾股定理PD=$\sqrt{2}$PA，所以PC=$\sqrt{2}$PA+PB．

解答 证明：（1）如图（1），在PA上截取PD=PA，
∵AB=AC，∠CAB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠APC=∠CPB=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AP=AD=PD，
∴∠ADC=∠APB=120°，
在△ACD和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠APB}\\{∠ACD=∠ABP}\\{AD=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABP（AAS），
∴CD=PB，
∵PC=PD+DC，
∴PC=PA+PB；
（2）PC=$\sqrt{2}$PA+PB，
如图（2），作AD⊥AP与PC交于一点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠BAP，
在△ACD和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BAP}\\{AC=AB}\\{∠ACD=∠ABP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABP，
∴CD=PB，AD=AP，
根据勾股定理PD=$\sqrt{2}$PA，
∴PC=PD+CD=$\sqrt{2}$PA+PB．

点评 此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．掌握辅助线的作法以及熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．