Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中P点从点A开始沿AB方向运动且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.

(1)出发2秒后，求线段PQ的长?

(2)当点Q在边BC上运动时，出发儿秒钟后，OPQB是等腰三角形?

(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间?

Answer 1

【答案】(1)出发2秒后，线段PQ的长为；(2)当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形； (3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

由勾股定理得：PQ=,

∴出发2秒后，线段PQ的长为；

(2)BQ=2t，BP=8-t ，

由题意得：2t=8-t ，

解得：t=，

∴当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形；

(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，

∴AC==10.

①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒；

②当CQ=BC时(如图2)，

则BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6秒，

③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，

∴BE=，

所以CE===3.6，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.