题目内容
【题目】如图,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
(1)求证:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析,(2)2.
【解析】
试题分析:(1)通过证明△ODF与△OBE全等即可求得.
(2)由△ADB是等腰直角三角形,得出∠A=45°,因为EF⊥AB,得出∠G=45°,所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形,从而求得DG的长和EF=2,然后等腰直角三角形的性质即可求得.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴∠ODF=∠OBE,
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE(AAS)
∴BO=DO;
(2)解:∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵∠A=45°,
∴∠DBA=∠A=45°,
∵EF⊥AB,
∴∠G=∠A=45°,
∴△ODG是等腰直角三角形,
∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴DF⊥OG,
∴OF=FG,△DFG是等腰直角三角形,
∵△ODF≌△OBE(AAS)
∴OE=OF,
∴GF=OF=OE,
即2FG=EF,
∵△DFG是等腰直角三角形,
∴DF=FG=1,∴DG==DO,
∴在等腰RT△ADB 中,DB=2DO=2=AD
∴AD=2.