Question

12．某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
（1）设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y₁元，请用x的代数式表示销售药品收入y₁；设当天剩余半成品全部卖出收入为y₂元，请用x的代数式表示y₂，并求出这个问题中x的取值范围．
（2）为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．

Answer 1

分析 （1）根据题意构建一次函数y₁、y₂，构建不等式求出自变量的取值范围即可；
（2）设每天的收入为w元，则有w=y₁+y₂=-120x+12000+114x-2400=-6x+9600，因为k=-6＜0，所以w随x的增大而减小，推出x=22时，w有最小值，由此即可解决问题；

解答 解：（1）y₁=（100-x）×4×30=-120x+12000，
y₂=[30x-（100-x）×4×2]×3=114x-2400，
∵$\left\{\begin{array}{l}{12000-120x≥0}\\{114x-2400≥0}\\{x为整数}\end{array}\right.$，
∴$\frac{400}{19}$≤x≤100且x为整数．

（2）设每天的收入为w元，
w=y₁+y₂=-120x+12000+114x-2400=-6x+9600，
∵k=-6＜0，
w随x的增大而减小，
∴x=22时，w有最小值，最小值为9468元．

点评 本题考查一次函数的应用，不等式组等整数，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值值问题，属于中考常考题型．