Question

17．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE=6，BF=8，CE=$\frac{5}{2}$，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出答案．
（2）作FG⊥BC于点G，根据S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=BE•FG，先求出FG，再根据S_{平行四边形ABCD}=BC•FG，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF．
∴四边形ABEF是菱形．

（2）作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴AE⊥BF，OE=$\frac{1}{2}$AE=3，OB=$\frac{1}{2}$BF=4，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=5，
∵S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=BE•FG，
∴GF=$\frac{24}{5}$，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC•FG=（BE+EC）•GF=（5+$\frac{5}{2}$）×$\frac{24}{5}$=36．

点评 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，利用面积法求出高FG是解题的关键．