Question

15．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0）和双曲线y=$\frac{n}{x}$（n＞0），如果m=2n，则称双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0）和双曲线y=$\frac{n}{x}$（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0）是双曲线y=$\frac{n}{x}$（n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y=$\frac{n}{x}$（n＞0）是双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的“半双曲线”，

（1）请你写出双曲线y=$\frac{3}{x}$的“倍双曲线”是y=$\frac{6}{x}$；双曲线y=$\frac{8}{x}$的“半双曲线”是y=$\frac{4}{x}$；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=$\frac{4}{x}$的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；
（3）如图2，已知点M是双曲线y=$\frac{2k}{x}$（k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y=$\frac{2k}{x}$的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=$\frac{2k}{x}$的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S_△MNP，且1≤S_△MNP≤2，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；
（2）利用双曲线的性质即可；
（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；
方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；
方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．

解答 解：（1）由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y=$\frac{3}{x}$，的“倍双曲线”是y=$\frac{6}{x}$；
双曲线y=$\frac{8}{x}$ 的“半双曲线”是y=$\frac{4}{x}$．
故答案为y=$\frac{6}{x}$，y=$\frac{4}{x}$；

（2）如图1，

∵双曲线y=$\frac{4}{x}$的“半双曲线”是y=$\frac{2}{x}$，
∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，
∴△AOB的面积为1．  

（3）解法一：如图2，

依题意可知双曲线$y=\frac{2k}{x}（k＞0）$的“半双曲线”为$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，$\frac{2k}{m}$），点N坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∴CM=$\frac{2k}{m}$，CN=$\frac{k}{m}$．
∴MN=$\frac{2k}{m}$-$\frac{k}{m}$=$\frac{k}{m}$．
同理PM=m-$\frac{m}{2}$=$\frac{m}{2}$．
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•PM=$\frac{k}{4}$
∵1≤S_△PMN≤2，
∴1≤$\frac{k}{4}$≤2．
∴4≤k≤8，

解法二：如图3，

依题意可知双曲线$y=\frac{2k}{x}（k＞0）$的“半双曲线”为$y=\frac{k}{x}（k＞0）$，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，$\frac{2k}{m}$），点N坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．
连接OM，
∵$\frac{PM}{OC}=\frac{MN}{MC}=\frac{1}{2}$，
∴△PMN∽△OCM． 
∴$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△OCM}}=\frac{1}{4}$．
∵S_△OCM=k，
∴S_△PMN=$\frac{k}{4}$．
∵1≤S_△PMN≤2，
∴1≤$\frac{k}{4}$≤2．
∴4≤k≤8．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，双曲线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是三角形的面积公式的应用，解（3）的关键是建立不等式求解．