Question

问题：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为

 

．
（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC=

 

度．
（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明．也可以选用其它的方法证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）AD+BD=BC；
（2）由等腰三角形的性质及角平分线的性质可得∠ABD=∠DBC=20°；
（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，先证得△ABD≌△FBD，∠DFB=∠A=100°，∠DFC=80°，再得∠BED=∠BDE=80°，所以∠DFE=∠FED．再推得∠EDC=∠C，DE=EC，AD=EC，于是AD+BD=BC．

解答：解：（1）AD+BD=BC；
（2）∵AB=AC，∠A=100°
∴∠ABC=∠C=40°
∵BD为∠B的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=20°；
（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，

∵BD为∠B的平分线，
∴∠ABD=∠DBC．
∴在△ABD和△FBD中，

AB=BF ∠ABD=∠FBD BD=BD

，
∴△ABD≌△FBD．
∵∠A=100°，
∴∠DFB=∠A=100°，
∴∠DFC=80°，
∵BE=BD，∠DBC=20°，
∴∠BED=∠BDE=80°，∠DFE=∠FED．
∴DF=DE．
∵∠FED=80°，∠C=40°，
∴∠EDC=40°．
∴∠EDC=∠C．
∴DE=EC．
∴AD=EC．
∴AD+BD=BC．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题的关键．