题目内容
如图，点A的坐标是（0，2），点B是x轴正半轴上的点，过点B作直线l垂直于x轴，点C为线段OB上的动点，连接AC，过点C作CD⊥AC交直线l于点D，将△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，连接AE，设点B的坐标是（m，0），点C的坐标是（n，0）（1）用含m，n的代数式表示点D的坐标；
（2）当点A、E、D三点在同一直线上时，求m，n之间的数量关系；
（3）若在点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，求m的值．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）根据已知条件求出∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，得出∠BCD=∠OAC，再根据AA得出△AOC∽△CBD，得出
=
，求出DB=
n（m-n）=-
n2+
mn，即可得出D的坐标；
（2）根据△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，得出∠DEC=∠DBC=90°，当点A、E、D三点在同一直线上时，得出∠AOC=∠AEC，再根据∠BCD=∠ECD，得出∠ACO=∠ACE，再根据AAS得出△AOC≌△AEC，得出OC=EC=BC，从而得出m，n之间的数量关系；
（3）当AE∥x轴时，得出∠EAC=∠ACE，EA=EC=CB=m-n，作EF⊥OC，得矩形AOFE，根据矩形的特点得出CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，再根据勾股定理得出EF2+FC2=EC2，然后进行整理得出3n2-2mn+4=0，再根据点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，得出△=（2m）2-4×3×4=0，求出符合条件的m的值即可．
| CB |
| AO |
| DB |
| OC |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）根据△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，得出∠DEC=∠DBC=90°，当点A、E、D三点在同一直线上时，得出∠AOC=∠AEC，再根据∠BCD=∠ECD，得出∠ACO=∠ACE，再根据AAS得出△AOC≌△AEC，得出OC=EC=BC，从而得出m，n之间的数量关系；
（3）当AE∥x轴时，得出∠EAC=∠ACE，EA=EC=CB=m-n，作EF⊥OC，得矩形AOFE，根据矩形的特点得出CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，再根据勾股定理得出EF2+FC2=EC2，然后进行整理得出3n2-2mn+4=0，再根据点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，得出△=（2m）2-4×3×4=0，求出符合条件的m的值即可．
解答：解：（1）∵CD⊥AC，DB⊥BO，AO⊥BO，
∴∠AOC=∠CBD=90°，∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∴△AOC∽△CBD，
∴
=
，即
=
，
∴DB=
n（m-n）=-
n2+
mn，
∴D（m，-
n2+
mn）；
（2）∵△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，
∴∠DEC=∠DBC=90°，
当点A、E、D三点在同一直线上时，∠AEC=180°-∠DEC=90°，
∴∠AOC=∠AEC，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠ACE+∠ECD=90°
又∵∠BCD=∠ECD，
∴∠ACO=∠ACE，
在△AOC与△AEC中，
，
∴△AOC≌△AEC（AAS），
∴OC=EC=BC，即n=m-n，
∴m=2n；
（3）当AE∥x轴时，∠EAC=∠ACO，∠ACO=∠ACE，
∴∠EAC=∠ACE
∴EA=EC=CB=m-n，
作EF⊥OC，得矩形AOFE，
∴EF=AO=2，OF=AE=m-n，
∴CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，
Rt△FCE中，根据勾股定理得EF2+FC2=EC2，
∴22+（2n-m）2=（m-n）2，
整理得3n2-2mn+4=0，
∵点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，
∴△=（2m）2-4×3×4=0，m=±2
（负值舍去），
∴m=2
．
∴∠AOC=∠CBD=90°，∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∴△AOC∽△CBD，
∴
| CB |
| AO |
| DB |
| OC |
| m-n |
| 2 |
| DB |
| n |
∴DB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴D（m，-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）∵△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，
∴∠DEC=∠DBC=90°，
当点A、E、D三点在同一直线上时，∠AEC=180°-∠DEC=90°，
∴∠AOC=∠AEC，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠ACE+∠ECD=90°
又∵∠BCD=∠ECD，
∴∠ACO=∠ACE，
在△AOC与△AEC中，
|
∴△AOC≌△AEC（AAS），
∴OC=EC=BC，即n=m-n，
∴m=2n；
（3）当AE∥x轴时，∠EAC=∠ACO，∠ACO=∠ACE，
∴∠EAC=∠ACE
∴EA=EC=CB=m-n，
作EF⊥OC，得矩形AOFE，
∴EF=AO=2，OF=AE=m-n，
∴CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，
Rt△FCE中，根据勾股定理得EF2+FC2=EC2，
∴22+（2n-m）2=（m-n）2，
整理得3n2-2mn+4=0，
∵点C的运动过程中有唯一位置使得AE∥x轴，
∴△=（2m）2-4×3×4=0，m=±2
| 3 |
∴m=2
| 3 |
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理等，关键是根据题意画出辅助线，得出CF的值．
练习册系列答案
相关题目
边长为4的等边三角形绕它的高所在的直线旋转180°，所得的圆锥的表面积为（ ）
| A、12π | ||
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| ||
C、（8
| ||
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问题：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系．
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