Question

如图，已知四边形ABFC为菱形，点 D、A、E在直线l上，∠BDA=∠BAC=∠CEA．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若∠FBA=60°，连接DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）利用菱形的性质得出AB=AC，进而得出∠2=∠3，即可利用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证△ABF与△ACF均为等边三角形，然后证明△FBD≌△FAE，则DF=EF，∠BFD=∠AFE，从而求得∠DFE的度数，即可证得：△DEF是等边三角形．

解答：（1）证明：∵四边形ABFC为菱形，
∴AB=AC．
∵∠BDA=∠BAC=∠CEA，
又∵∠2+∠1=180°-∠BDA，∠3+∠1=180°-∠BAC，
∴∠2=∠3．
在△ABD和△CAE中，

∠2=∠3 ∠BDA=∠CEA AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）答：△DEF是等边三角形．
解：连结AF，
∵四边形ABFC为菱形，∠FBA=60°，
∴△ABF与△ACF均为等边三角形，
∴BF=AF，∠FBA=∠FAC=60°=∠BFA．
∵∠2=∠3，
∴∠FBA+∠2=∠FAC+∠3，即∠FBD=∠FAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE．
在△FBD和△FAE中，

BD=AE ∠FBD=∠FAE BF=AF

，
∴△FBD≌△FAE，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∵∠BFA=∠BFD+∠DFA=60°，
∴∠AFE+∠DFA=60°，即∠DFE=60°．
∴△DEF是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确作出辅助线是关键．