Question

10．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE=AB，∠CAD=45°．
（1）求证：△ABC≌△DEC；
（2）求证：DF⊥AB；
（3）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 （1）首先证明AC=CD，再根据HL证明△ABC≌△DEC即可．
（2）利用：“8字型”证明∠AFE=∠ECD=90°即可．
（3））利用S_△BCE+S_△ACD=S_△ABD-S_△ABE，即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵AC⊥BD，∠CAD=45°，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌△Rt△DEC．

（2）∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，
∴DF⊥AB．

（2）∵S_△BCE+S_△ACD=S_△ABD-S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$•c•DF-$\frac{1}{2}$•c•EF=$\frac{1}{2}$•c•（DF-EF）=$\frac{1}{2}$•c•DE=$\frac{1}{2}$c²，
∴a²+b²=c²

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．