Question

【题目】（问题情境） 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

（数学模型）

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（ ）（x＞0）

（探索研究）

我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=（x＞0）的图象和性质．

（1）①填写下表，画出函数的图象；

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=（x＞0）的最小值．

解决问题：（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。

Answer 1

【答案】（1）①填写下表，画出函数的图象；见解析；②当x=1时，函数y的最小值是2；0＜x＜1时，y随着x的增大而减小；③x=1时，函数y=x+（x＞0）的最小值是2；（2）当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．

【解析】

(1)①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；

(2)根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，进行配方得到，即可求出答案．

（1）①填写下表，画出函数的图象；

②观察图像可知，当x=1时，函数y的最小值是2；0＜x＜1时，y随着x的增大而减小.

③y=x+= ，

= ，

当，即x=1时，函数y=x+（x＞0）的最小值是2，

，

∵x＞0，

∴的值是正数，并且任何一个正数都行，

∴此时不能求出最值，

答：函数y=x+（x＞0）的最小值是2．

（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．