Question

阅读材料：设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两根记作a_n、b_n（n为不小于2的整数），则

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

+…+

1

(an-2)(bn-2)

=

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：首先根据两根与方程系数之间的关系求得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，然后由

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）找到规律原式=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n-1

4(n+1)

．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两根记作a_n、b_n（n为不小于2的整数），
∴a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴

1

(an-2)(bn-2)

=

1

anbn-2(an+bn)+4

=

1

-2n2-2n

=-

1

2

•

1

n(n+1)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

…+

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n-1

4(n+1)

；
故答案是：-

n-1

4(n+1)

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．