题目内容
5．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于点A、B，点A的横坐标为-1．与y轴交于点C，点C的纵坐标为2．顶点为P．过动点H （0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线相交于点D、E．（1）求抛物线的解析式以及顶点P的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求出m 是多少？此时在直线l上存在一点F，满足|PF-AF|有最大值，求直线AF的函数表达式；
（3）若在直线l上找出一点G，使得△ACG是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式，再配成顶点式，确定出顶点坐标；
（2）先根据根与系数的关系，由⊙Q与x轴相切，确定出m的值，再确定出点P关于直线l的对称点P1的坐标，进而解出结论；
（3）分直角顶点是A，C，P三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式表示出线段，然后建立方程求解即可．
解答 解：（1）由题意：把A点坐标（-1，0），C点坐标（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c中解得：
∴b=$\frac{3}{2}$，c=2．
∴y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{8}$
∴顶点P的坐标：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
（2）如图1，
令y=m，-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=m，
设D（x1，0），E（x2，0），
∴x1、x2是该方程的两个根，则x2-3x-4+2m=0，
所以x1+x2=3，x1x2=-4+2m，
∴DE2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=9-（-4+2m）=25-8m．
∵以DE为直径的⊙O与x轴相切，
∴DE=2m，即25-8m=4m2，解得m=-1±$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∵m＞0，
∴m=-1+$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∵此时在直线l上存在一点F，满足|PF-AF|有最大值．
令顶点P关于直线l的对称点为P1，可求得P1坐标为（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{29}-\frac{41}{8}$）
根据轴对称性质得：PF=P1F，
∴|PF-AF|=|P1F-AF|．
易得A、P1、F在同一条直线上时，|P1F-AF|值最大为A P1．
∴直线AF的函数表达式和直线A P1相同，设为y1=kx+n
代入A点坐标（-1，0）得，P1点坐标（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{29}-\frac{41}{8}$）
得k=n=$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$
∴直线AF的函数表达式y1=（$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$）（x+1）
y1=（$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$）x+$\frac{2}{5}\sqrt{29}-\frac{41}{20}$
（3）①以点C为直角顶点时，
∵A点坐标（-1，0），C点坐标（0，2）．
∴直线AC解析式为y=2x+2，AC=$\sqrt{5}$
∴直线CP解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点P在直线y=m上．
∴点P的坐标为（4-2m，m），
∴CP=$\sqrt{（4-2m）^{2}+（m-2）^{2}}$
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=CP，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（4-2m）^{2}+（m-2）^{2}}$
∴m=1或m=3
②以点A为直角顶点时，
直线AP解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
设P（-2m-1，m），
∴AP=$\sqrt{（-2m-1+1）^{2}+{m}^{2}}$，
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=AP，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（-2m-1+1）^{2}+{m}^{2}}$，
∴m=±1，
③以点P为直角顶点时，设P（n，m），
∴PA=$\sqrt{（n+1）^{2}+{m}^{2}}$，PC=$\sqrt{{n}^{2}+（m-2）^{2}}$
∵A（-1，0），C（0，2），
∴AC的中点M（-$\frac{1}{2}$，1），
∴PM=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+（m-1）^{2}}$，
∵△ACG是等腰直角三角形，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC，PA=PC，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}）^{2}+（m-1）^{2}}$①，
$\sqrt{（n+1）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+（m-2）^{2}}$②，
联立①②解得，m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$
综上所述，m的值为-1、$\frac{1}{2}$、1、$\frac{3}{2}$、3．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，极值，对称的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
如图，△AOB和△ACD均为正三角形，顶点B、D在双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，线段BC、AD交于点P，则S△OBP=8．
点E在正方形ABCD外，BE=4，CE=2，∠BEC=135°，将△BEC绕点B逆时针旋转得到△BFA，求FE、FC的长．
如图所示，用代数式表示图中阴影部分的面积，并计算x=6时，阴影部分的面积．（π取3.14）