有一副直角三角板.在三角板ABC中.∠BAC=90°.AB=AC=6.在三角板DEF中.∠FDE=90°.DF=4.DE=4$\sqrt{3}$.将这副直角三角板按如图(1)所示位置摆放.点B与点F重合.直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC.将三角板DEF沿射线BA方向平行移动.当点F运动到点A时停止运动．.当三角板DEF运动到点D与点A重合时.设EF与BC交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4$\sqrt{3}$，将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=15度；
（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，当D在BA的延长线上时，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y．求y与x的函数关系式，并求出对应的x取值范围．

分析（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC；
（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可得出FC的长；
（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6-2$\sqrt{3}$时，如答图2所示；（III）当6-2$\sqrt{3}$＜x≤6时，如答图3所示．

解答解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；
故答案为：15°；

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，
FC=$\frac{AC}{sin∠AFC}$=$\frac{6}{sin60°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$；

（3）在三角板DEF运动过程中，
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示，设DE交BC于点G．
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=$\frac{MN}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN+x=MN，
解得：MN=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}x$．
y=S_△BDG-S_△BFM
=$\frac{1}{2}$BD•DG-$\frac{1}{2}$BF•MN
=$\frac{1}{2}$（x+4）²-$\frac{1}{2}$x•$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$x²+4x+8；

（II）当2＜x≤6-2$\sqrt{3}$时，如答图2所示，过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=$\frac{MN}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN+x=MN，
解得：MN=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$x．
y=S_△ABC-S_△BFM
=$\frac{1}{2}$AB•AC-$\frac{1}{2}$BF•MN
=$\frac{1}{2}$×6²-$\frac{1}{2}$x•$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$x²+18；

（III）当6-2$\sqrt{3}$＜x≤6时，如答图3所示，设BF=x，则AF=AB-BF=6-x，
设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=$\sqrt{3}$（6-x）．
y=S_△AFM=$\frac{1}{2}$AF•AM=$\frac{1}{2}$（6-x）•$\sqrt{3}$（6-x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-6$\sqrt{3}$x+18$\sqrt{3}$．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}+1}{4}{x}^{2}+4x+8（0≤x≤2）}\\{-\frac{3+\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+18（2＜x≤6-2\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}-6\sqrt{3}x+18（6-2\sqrt{3}＜x≤6）}\end{array}\right.$．