Question

如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③

AE

=

BE

；④CE•AB=2BD²．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AC；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断

AE

≠

BE

；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到CE•CA=CD•CB，然后利用等线段代换即可得到CE•CA=2BD²．

解答：解：连结AD、BE，DE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而CD=BD，
∴AB=AC，所以②正确；
∵∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，所以①错误；
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=50°，
∴

AE

≠

BE

，所以③错误；
∵∠CED=∠CBA，
而∠C公共，
∴△CED∽△CBA，
∴

CE

CB

=

CD

CA

，
∴CE•CA=CD•CB，
∴CE•CA=BD•2BD=2BD²，所以④正确．
故答案为②④．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．