Question

4．探索：（x-1）（x+1）=x²-1（x-1）（x²+x+1）=x³-1（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1，则2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=127，3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 将原式变形为（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），利用（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，进一步计算可得；同理3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{1}{2}$×（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1）继而得出答案．

解答 解：由题意知（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，
则2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁷-1=127，
3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1=$\frac{1}{2}$×（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3²+3+1）=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$，
故答案为：127，$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，根据已知等式得出（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1并将待求式子灵活变形得以运用规律是解题的关键．