Question

如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O
（1）图中有几对全等的直角三角形？请你选择其中一对进行证明；
（2）连接OA、BC，试判断直线OA、BC的关系并说明理由．

Answer 1

考点：直角三角形全等的判定

专题：

分析：（1）△ABE≌△ACD，△ADO≌△AEO，△ABO≌△ACO，△DOB≌△EOC，然后利用AAS证明△ABE≌△ACD即可；
（2）首先证明△DBO≌△ECO可得BO=CO，再有AB=AC可得O、A在BC的垂直平分线上，继而得到O垂直平分BC．

解答：解：（1）△ABE≌△ACD，△ADO≌△AEO，△ABO≌△ACO，△DOB≌△EOC；
∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ADC和△AEB中

∠ADC=∠AEB ∠BAC=∠CAB AB=AC

，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；

（2）AO垂直平分BC，
连接AO并延长交BC于F，
∵△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠ABO=∠ACO，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，
即DB=EC，
在△DBO和△ECO中

∠DOB=∠EOC ∠ABO=∠ACO DB=EC

，
∴△DBO≌△ECO（AAS），
∴BO=CO，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．