Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．
（1）若BC=2

2

，求△BDE的周长；
（2）求证：NE-ME=CM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出BD=CD=2，再求出DE，然后利用勾股定理列式求出BE，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠ABN=∠ACD，∠BDN=∠CDM，然后利用“角边角”证明△BDN和△CDM全等，根据全等三角形对应边相等可得DN=DM，从而得到△DMN是等腰直角三角形，过点D作DF⊥BE于F，利用“角角边”证明△DEF和△CEM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CM，EF=ME，然后根据等腰直角三角形的性质并结合图形整理即可得证．

解答：（1）解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°，
∵BC=2

2

，
∴BD=CD=2

2

×

2

2

=2，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE=

1

2

CD=

1

2

×2=1，
∴BE=

BD2+DE2

=

22+12

=

5

，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=2+1+

5

=3+

5

；

（2）证明：∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABN+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABN=∠ACD，
∵CD⊥AB，ND⊥MD，
∴∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
在△BDN和△CDM中，

∠ABN=∠ACD BD=CD ∠BDN=∠CDM

，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN=DM，
∴△DMN是等腰直角三角形，
过点D作DF⊥BE于F，则DF=NF，
∵BM⊥AC于点M，
∴∠DFE=∠CME=90°，
在△DEF和△CEM中，

∠DFE=∠CME ∠DEF=∠CEM DE=CE

，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴DF=CM，EF=ME，
∴NE-ME=NE-EF=NF=DF=CM，
即NE-ME=CM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．