Question

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：△BME≌△DNF；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行且相等，由AM垂直于BC，CN垂直于AD，得到AM与CN平行，再由平行四边形ABCD，得到BC与AD平行，BC=AD，进而确定出AMCN为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AN=CM，进而得到DN=BM，利用ASA得证；
（2）由（1）得到NF=EM，AM=CN，且AM与CN平行，得到AE与CF平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证．

解答：证明：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，∠NDF=∠MBE，
∴AM∥CN，
∴AMCN为平行四边形，
∴AN=CM，
∴AD-AN=BC-CM，即DN=BM，
在△BME和△DNF中，

∠EBM=∠FND BM=DN ∠BME=∠DNF=90°

，
∴△BME≌△DNF（ASA）；
（2）由（1）得：NF=ME，AM=CN，AM∥CN，
∴AM-EM=CN-NF，即AE=CF，
则四边形AECF为平行四边形．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．