Question

10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M（8，m）、N（n，8）分别是线段AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m+n=10．

Answer 1

分析 易证得△OCN∽NBM，则$\frac{CN}{BM}=\frac{OC}{NB}$，由此可求得m与n的关系式，从而得到t的取值范围．由勾股定理可得ON=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{64+{m}^{2}}$，结合m的取值范围可得ON的最小值，从而求得m、n的值．

解答 解：由题意可得OC=OA=8，CN=n，BN=8-n，AM=m，BM=8-m
∵四边形OABC是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
∵ON⊥MN，
∴∠MNO=90°，
∵∠ONC+∠CON=90°，∠ONC+∠BNM=90°，
∴∠CON=∠BNM，
∴△OCN∽NBM，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{OC}{NB}$，
即$\frac{n}{8-m}=\frac{8}{8-n}$，整理得（n-4）²=8m-48，
∵（n-4）²≥0，
∴8m-48≥0，
∴m≥6．
∵OM=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{64+{m}^{2}}$，
∴当m=6时，OM取得最小值，最小值为10．此时n=4．
∴当当OM最小时，m+n=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断，判断出m的取值范围是解题的关键．