Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2

3

，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求BD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，则△ABC的面积=

1

2

AC•BC=2

3

．再过点D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=

3

，则△ACD的面积=

1

2

AC•DE=

3

，则根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求解；
（2）过点D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=

3

，则BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2

3

，
∴AC=2，AB=4．
∴△ABC的面积=

1

2

AC•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∵△ACD为等边三角形，
∴AD=AC=2，∠DAC=60°．
过点D作DE⊥AC于E．
在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，
∴DE=AD•sin∠DAE=2×

3

2

=

3

，
∴△ACD的面积=

1

2

AC•DE=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=2

3

+

3

=3

3

；

（2）过点D作DF⊥AB于F．
∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，
∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．
在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，
∴AF=1，DF=

3

，
∴BF=AF+AB=1+4=5，
∴BD=

BF2+DF2

=

52+( 3 )2

=2

7

．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．