Question

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=k（x²+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）．
（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；
（2）已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y=

k

x

（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问：平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？若能，请说明直线AB、CD的位置关系；若不能，请说明理由；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）直接把点A（1，k）代入反比例函数的解析式即可，再把k=-2代入即可；
（2）根据A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，故AB与CD无法垂直，故可得出结论；
（3）先把k当作已知条件表示出Q点的坐标，根据A、B关于原点O中心对称可知当OQ=OA=OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形，由OQ²=OA²，即可得出关于k的一元二次方程，求出k的值即可．

解答：解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，k），
∴反比例函数的解析式是y=

k

x

，
当k=-2时，反比例函数的解析式是y=-

2

x

；

（2）当AB、CD关于直线y=x对称时，AB与CD互相平分且相等，ABCD是矩形．
∵A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，
∴AB与CD无法垂直，
∴四边形ABCD不能成为正方形；

（3）∵抛物线的顶点Q的坐标是（-

1

2

，-

5

4

k），A、B关于原点O中心对称，
∴当OQ=OA=OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
由OQ²=OA²，得（-

1

2

）²+（-

5

4

k）²=1²+k²，
解得k₁=

2 3

3

，k₂=-

2 3

3

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，难度适中．