Question

如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）先设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标．

解答：解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点，得

0=a-b+c 0=25a+5b+c - 5 2 =c

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

，
所以这个二次函数的解析式是y=

1

2

x²-2x-

5

2

．

（2）∵y=

1

2

x²-2x-

5

2

=

1

2

（x-2）²-

9

2

．
∴抛物线的对称轴为x=2，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∴

0=5k+m m=- 5 2

解得

k= 1 2 m=- 5 2

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，
当x=2时，y=-

3

2

，
∴P点的坐标为（2，-

3

2

），

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式．轴对称的性质等，解题的关键是把已知点的坐标代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组．