Question

17．在平面直角坐标系中，已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标为（0，1.5）或（0，-6）．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：①当B′在x轴负半轴上时，过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（3，0），（0，4），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=3，则DB=5-3=2，BC=4-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．②当B'在x轴正半轴上时，设OC=x，在Rt△OCB′中，利用勾股定理可求出x的值．

解答 解：①若B'在x轴左半轴，过C作CD⊥AB于D，如图1，

对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4，令x=0，得y=4；令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，4），即OA=3，OB=4，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=4-n，
∴DA=OA=3，
∴DB=5-3=2，
在Rt△BCD中，DC²+BD²=BC²，
∴n²+2²=（4-n）²，解得n=1.5，
∴点C的坐标为（0，1.5）．
②若B′在x轴右半轴，如图，

则AB′=AB=5，
设OC=x，则CB′=CB=x+4，OB′=OA+AB′=3+5=8，
在Rt△OCB′中，OB′²+OC²=CB′²，即8²+x²=（x+4）²，
解得：x=6，即可得此时点C的坐标为（0，-6）．
故答案为：（0，1.5）或（0，-6）．

点评 本题考查了翻折变换的性质及求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值，也考查了勾股定理的应用，难度较大．