Question

3．如图，抛物线y=x²+mx+（m-1）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C′（0，c），且满足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．
（1）求m的取值范围；
（2）求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用判别式的意义得到△=m²-4（m-1）＞0，解得m≠2，再利用函数图象得到抛物线与x轴的交点在x轴下方，则m-1＜0，解得m＜1，然后写出两个不等式的公共部分即可得到m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，再变形x₁²+x₂²+x₁x₂=7得到（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，则m²-（m-1）=7，解得m₁=3，m₂=-2，然后利用（1）m的范围即可确定满足条件的m的值，从而得到二次函数解析式．

解答 解：（1）根据题意得△=m²-4（m-1）＞0，即（m-2）²＞0，
∴m≠2，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴m-1＜0，解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1且m≠2；
（2）根据题意得x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，
∵x₁²+x₂²+x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，
∴m²-（m-1）=7，
即m²-m-6=0，解得m₁=3，m₂=-2，
∵m＜1且m≠2，
∴m=-2，
∴抛物线解析式为y=x2-2m-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象与x轴的交点个数由△=b²-4ac决定；利用二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了根与系数的关系．