Question

4．已知在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC于点C，过点C作直线EF∥AB，点D在直线EF上，连接BD，过点D作GD⊥BD，交直线AC于点H，连接BG．
（1）如图1所示，当点D在射线CF上，点H在射线AC上时，连接BH，过点D作MD⊥CD，交CB的延长线于点M．求证：∠GBH+∠G=∠M；
（2）如图2所示，当点D在射线CE上，点H在射线CA上时，试判断并证明DH与BD之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DN⊥EM于N，DP⊥AC于P．只要证明四边形PCND是矩形，△DPH≌△DNB，推出DH=BD，推出△BDH是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
（2）如图2中，作DN⊥BC于N，DP⊥AC于P．只要证明四边形PCND是矩形，△DPH≌△DNB即可；

解答 （1）证明：如图1中，作DN⊥EM于N，DP⊥AC于P．

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵EF∥AB，
∴∠DCP=∠A=∠DCB=45°，
∵DN⊥EM于N，DP⊥AC于P，
∴DP=DN
∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°，
∴四边形PCND是矩形，
∴∠PDN=∠BDH=90°，
∴∠PDH=∠BDN，
∴△DPH≌△DNB，
∴DH=BD，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠BHD=45°，
∵∠BHD=∠GBH+∠G，
∴∠GBH+∠G=45°，
∵DM⊥DC，
∴∠M=∠DCM=45°，
∴∠GBH+∠G=∠M．

（2）如图2中，作DN⊥BC于N，DP⊥AC于P．

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵EF∥AB，
∴∠DCP=∠BAC=∠DCN=45°，
∵DN⊥EM于N，DP⊥AC于P，
∴DP=DN
∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°，
∴四边形PCND是矩形，
∴∠PDN=∠BDH=90°，
∴∠PDH=∠BDN，
∴△DPH≌△DNB，
∴DH=BD，

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考考常考题型．