题目内容
11．在平面直角坐标系中，直线x=-$\sqrt{3}x$+4$\sqrt{3}$分别交x轴，y轴于点A、B，C为AB的中点，动点D从原点O出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点D作OA的垂线，分别交直线AB，OC于点P，Q，以PQ为一边向左侧作正三角形EPQ，如图所示，设点D的运动时间为t（秒），△EPQ和△OBC重叠部分的面积为S（平方单位）．（1）求点C的坐标；
（2）若点E恰好在y轴上，求t的值；
（3）当0＜t＜2时，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．
分析 （1）求出直线y=-$\sqrt{3}x$+4$\sqrt{3}$与两坐标轴的交点坐标，根据C为AB的中点，求出点C的坐标；
（2）根据等边三角形边与高的关系列出算式，求出t；
（3）根据S=△EPQ的面积-△EFH的面积，用t表示出S，求出最大值即可．
解答 解：（1）直线y=-$\sqrt{3}x$+4$\sqrt{3}$，
当y=0时，x=4，A（4，0），
x=0时，y=4$\sqrt{3}$，B（0，4$\sqrt{3}$），
∵C为AB的中点，
∴点C的坐标为：（2，2$\sqrt{3}$）
（2）t秒后，P点的纵坐标为-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
直线OC的解析式为y=$\sqrt{3}$x，
∴t秒后，Q点的纵坐标为$\sqrt{3}$t，
PQ=-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
点E在y轴上时，-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$t，
t=$\frac{3}{2}$；
（3）∵△EPQ是等边三角形，PQ=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
S△EPQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）2=3$\sqrt{3}$t2-12$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
△EFH的边FH上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）-t=-4t+6，
S△EFH=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$（-4t+6）2=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$t2-16$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
S=S△EPQ-S△EFH
=（3$\sqrt{3}$t2-12$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$）-（$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$t2-16$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$）
=-$\frac{7}{3}$$\sqrt{3}$t2+4$\sqrt{3}$t（0＜t＜2），
∵-$\frac{7}{3}$$\sqrt{3}$＜0，函数的最大值为$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．
点评 本题考查的是一次函数的综合应用和等边三角形的性质，根据题意和图形列出函数关系式是解题的关键，解答时，注意等边三角形的面积的表示方法的灵活运用．
天天向上课时同步训练系列答案
阳光课堂同步练习系列答案| A． | （2，-3） | B． | （-2，-3） | C． | （-2，3） | D． | （2，3） |
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