Question

7．如图，在△ABC中，已知AB=AC，CE⊥BD，CD=CB，求证：
（1）∠3=∠4；
（2）OA=OC．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出BE=DE，得出∠1=∠2，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再由三角形的外角性质得出∠ACB=∠1+∠4，即可得出结论；
（2）作AG⊥BC于G，交BE于F，连接CF，则AG∥CE，由等腰三角形的性质得出BG=CG，根据线段垂直平分线的性质得出BF=CF，得出∠2=∠BCF，证出∠ACF=∠4，得出AE∥CF，证出四边形AECF是平行四边形，即可得出OA=OC．

解答 证明：（1）∵CE⊥BD，CD=CB，
∴BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠1+∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠3=∠4；
（2）作AG⊥BC于G，交BE于F，连接CF，如图所示：
∵CE⊥BD，
∴AG∥CE，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∴BF=CF，
∴∠2=∠BCF，
∴∠3=∠ACF，
∵∠3=∠4，
∴∠ACF=∠4，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．