Question

17．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S₁+S₂=S₃图形个数有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a²+b²=c²．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a²+b²=c²，可得S₁+S₂=S₃．
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a²+b²=c²，可得S₁+S₂=S₃．
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a²+b²=c²，可得S₁+S₂=S₃．
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a²+b²=c²，可得S₁+S₂=S₃．

解答 解：（1）S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
∵a²+b²=c²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
∴S₁+S₂=S₃．

（2）S₁=$\frac{π}{8}$a²，S₂=$\frac{π}{8}$b²，S₃=$\frac{π}{8}$c²，
∵a²+b²=c²，
∴$\frac{π}{8}$a²+$\frac{π}{8}$b²=$\frac{π}{8}$c²，
∴S₁+S₂=S₃．

（3）S₁=$\frac{1}{4}$a²，S₂=$\frac{1}{4}$b²，S₃=$\frac{1}{4}$c²，
∵a²+b²=c²，
∴$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{4}$b²=$\frac{1}{4}$c²，
∴S₁+S₂=S₃．

（4）S₁=a²，S₂=b²，S₃=c²，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₂=S₃．
综上，可得
面积关系满足S₁+S₂=S₃图形有4个．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．