Question

12．如图，在直角坐标系内，已知点A（-3，0），点B是点A关于y轴的对称点，线段CD在直线y=4上移动，且CD=6．
（1）求点B的坐标和当四边形ABCD是菱形时点D的坐标；
（2）若四边形ABCD各内角的平分线相交形成四边形EFGH．求证：四边形EFGH是矩形；
（3）在（2）的条件下，探究运动过程中，四边形EFGH有可能为正方形吗？若有可能，求出此时点F的坐标，若不可能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据关于y轴的对称的点的特点即可得到B（3，0），根据四边形的性质得到AD=AB=6，设D（x，4），过D作DM⊥AB于M，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线的定义得到∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，求得∠EFG=90°，同理∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，于是得到四边形EFGH是矩形；
（3）运动过程中，四边形EFGH有可能为正方形，运动过程中，四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH为正方形，如图2，根据角平分线的定义得到∠1=∠2=∠3=∠4=45°，推出△ADF，△AOE，△DNG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AF=DF，AE=DG，等量代换得到FE=FG，推出四边形EFGH是正方形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（-3，0），点B是点A关于y轴的对称点，
∴B（3，0），
当四边形ABCD是菱形时，AD=AB=6，
设D（x，4），
如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴AM²+DM²=AD²，即（x+3）²+4²=6²，
解得：x=-3±2$\sqrt{5}$，
∴当四边形ABCD是菱形时，D（-3+2$\sqrt{5}$，4），或（-3-2$\sqrt{5}$，4）；

（2）∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵DG，AE分别平分∠CDA，∠DAB，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠ADF+DAF=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠EFG=90°，同理∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，
∴四边形EFGH是矩形；

（3）运动过程中，四边形EFGH有可能为正方形，运动过程中，四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH为正方形，
如图2，∵AE，DG分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°，
∴△ADF，△AOE，△DNG是等腰直角三角形，
∴AF=DF，AE=DG，
∴FE=FG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH是正方形，
过F作FP⊥AD与P，延长PF交EG于Q，则PQ⊥EG，
∴PF=$\frac{1}{2}$AD=2，FQ=PQ-PF═OA-PF=1，
∴F（-1，2）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关于y轴对称的点的特点，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键．