Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动的时间为t．
（1）当t=$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$时，P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）连PD，经过多长时间PD=PQ？

Answer 1

分析 （1）过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE为矩形，找出线段AP、CQ、PE的长度，根据勾股定理结合PQ=10即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）在Rt△APD中利用勾股定理找出PD的长度，结合PD=PQ即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE为矩形，如图所示．
当运动时间为t秒时（0＜t＜$\frac{16}{3}$），AP=3t，CQ=2t，
∴PE=AB-AP-BE=AB-AP-CQ=16-5t．
在Rt△PEQ中，PE=16-5t，EQ=BC=6，
∴PQ²=PE²+EQ²=（16-5t）²+6²=10²，
解得：t₁=$\frac{8}{5}$或t₂=$\frac{24}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$．
（2）在Rt△APD中，AP=3t，AD=BC=6，
∴PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$．
∵PD=PQ，PQ=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，
∴$\sqrt{（3t）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{（16-5t）^{2}+{6}^{2}}$，即（3t）²=（16-5t）²，
解得：t₁=2或t₂=8（舍去）．
答：经过2秒PD=PQ．

点评 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据勾股定理结合PQ的长度列出关于t的一元二次方程；（2）根据勾股定理结合PD=PQ列出关于t的一元二次方程．