Question

20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=$\sqrt{3}$，求GD的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AEB≌△AGD即可解决问题．
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，利用勾股定理求出线段EB即可解决问题．

解答 （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=1，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，AE=AG=$\sqrt{3}$，
∴EP=2 $\sqrt{3}$，
∴EB=$\sqrt{E{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴GD=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会用转化的思想思考问题，求线段DG转化为求线段EB，属于中考常考题型．