Question

9．如图所示，轮船由A处以每小时28海里的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上（即∠BAM=30°）．半小时后，轮船航行到B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向（即∠DBM=60°）．
（1）求此时轮船与灯塔M的距离是多少？
（2）已知MD⊥AD，AD=21海里，当轮船从B处继续往正北方向航行时，经过多久轮船距离灯塔M最近？
（3）当轮船从B处继续向正北方向航行，又经半小时后到达C处，问此时轮船与灯塔M的距离又是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？

Answer 1

分析 （1）由题意得，AB=28×0.5=14，∠BAM=30°，∠DBM=60°，根据三角形外角的性质得到∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）由题意得到轮船到达D距离灯塔M最近，列式即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义得到DM=7$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）由题意得，AB=28×0.5=14，∠BAM=30°，∠DBM=60°，
∴∠BMA=∠DBM-∠BAM=30°，
∴BM=AB=14，
∴此时轮船与灯塔M的距离是14海里；
（2）∵MD⊥AD，
∴轮船到达D距离灯塔M最近，
∵AD=21，
∴AD-AB=7，
∵7÷28=$\frac{1}{4}$，
∴经过$\frac{1}{4}$小时轮船距离灯塔M最近；
（3）∵∠ADM=90°，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=21，
∴DM=7$\sqrt{3}$，
∵BC=28×0.5=14，
∴DC=7，
∴CM=$\sqrt{D{C}^{2}+D{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$海里，
∴此时轮船与灯塔M的距离是7$\sqrt{2}$海里；
∵DM=DC，
∴∠DCM=45°，
∴灯塔M在轮船的东南方向上．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，正确理解方向角的定义是解题的关键．