Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=10，BD=3，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根据切线判定推出即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出OB=5，根据勾股定理求出CD，根据三角形面积公式求出CF，求出OF，根据勾股定理求出AE=AF，求出AF即可．

解答：（1）解：
DE与⊙O的位置关系式相切．
理由是：连接OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠EAC=∠CAF，
∵OA=OC，
∴∠CAF=∠OCA，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线，
即DE与⊙O的位置关系式相切．

（2）解：
∵OC⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∵AB=10，BD=3，
∴OB=5=0C，
由勾股定理得：CD=

(3+5)2-52

=

39

，
由三角形面积公式得：

1

2

OC×CD=

1

2

OD×CF，
∴5×

39

=8×CF，
∴CF=

5 39

8

，
由勾股定理得：OF=

52-( 5 39 8 )2

=

25

8

，
∵在Rt△AEC和Rt△AFC中，AC=AC，EC=CF，由勾股定理得：AE=AF，
∴AE=AF=AO+OF=5+

25

8

=

65

8

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质和判定，勾股定理，等知识点的综合运用，主要考查学生的推理和计算能力．