抛物线y=-$\sqrt{3}$x2+bx+c经过点O.与x轴的另一交点为点B.且抛物线的对称轴与线段OA交于点P．(1)求抛物线的解析式．(2)连结AB.求AB的长和点P的坐标．(3)过点P作x轴的平行线l.若点Q是直线l上的动点.连结QB．①若点O关于直线BQ的对称点为点C.当点C恰好在直线l上时.求点Q的坐标,②若点O关于直线BQ的对称点为点D.当线段AD的长最短时.求点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

抛物线y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c经过点O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$），与x轴的另一交点为点B，且抛物线的对称轴与线段OA交于点P．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连结AB，求AB的长和点P的坐标．
（3）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线l上的动点，连结QB．
①若点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标；
②若点O关于直线BQ的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标．（直接答案即可）

分析（1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐标代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，转化为解方程组即可．
（2）先求出直线OA的解析式，点B坐标，抛物线的对称轴即可解决问题．
（3）①如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，首先证明四边形BOQC是菱形，设Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），根据OQ=OB=5，可得方程m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，解方程即可解决问题．
②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H．先求出D、H两点坐标，再求出直线BH的解析式即可解决问题．

解答解：（1）把O（0，0），A（4，4$\sqrt{3}$）的坐标代入y=-$\sqrt{3}$x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16\sqrt{3}+4b+c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\sqrt{3}$x²+5$\sqrt{3}$x．

（2）由题意B（5，0），A（4，4$\sqrt{3}$），
∴直线OA的解析式为y=$\sqrt{3}$x，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7，
∵抛物线的对称轴x=$\frac{5}{2}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

（3）①如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，

∵QC∥OB，
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，
∴CQ=BC=OB=5，
∴四边形BOQC是平行四边形，
∵BO=BC，
∴四边形BOQC是菱形，
设Q（m，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴OQ=OB=5，
∴m²+（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²=5²，
∴m=±$\frac{5}{2}$，
∴点Q坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）

②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H．

∵AB=7，BD=5，
∴AD=2，D（$\frac{30}{7}$，$\frac{20\sqrt{3}}{7}$），
∵OH=HD，
∴H（$\frac{15}{7}$，$\frac{10\sqrt{3}}{7}$），
∴直线BH的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
当y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$时，x=0，
∴Q（0，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．