题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C与AC垂直的直线交x轴于点B，在x轴负半轴上取一点D，使AD=OC，连接CD．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点M、N分别从点D、B同时出发，点M以每秒2个单位长度的速度，沿线段DB运动，到点B停止运动，点N以每秒
5
个单位长度的速度，沿线段BC运动，当点N到达点C时停止运动，点M继续运动．设点M运动时间为t秒，求△BMN的面积S（S≠0）关于t（秒）的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点M作BD的垂线，交射线DC于点P，Q为线段BC的中点，是否存在这样的t值，使△PAQ是以AQ为直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据两直线垂直k的积是-1，可得直线BC的k值，根据k值C点，可得答案；
（2）根据函数解析式，可得函数与坐标轴的焦点，根据正弦函数，可得NE的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：AQ⊥AP，AQ⊥PQ，根据垂线间k值的积是1，分别可得直线AQ、PQ的解析式，再根据两直线的交点，可得答案．
解答：解：（1）直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
A（-2，0），C（0，4）．
过点C与AC垂直的直线交x轴于点B，
BC的解析式是y=-
1
2
x+4；
（2）如图1：

BC的解析式是y=-
1
2
x+4，
B点坐标是（8，0），
AD=OC=4，
∴D（-6，0）DB=8-（-6）=14，
BC=4
5
，
sin∠B=
OC
BC
=
4
4
5
=
5
5
，
BM=14-2t，BN=
5
t，NE=t，
S=
-t2+7t(0≤t＜5)
-4t+28(5≤t＜7)
；
（3）如图2，AQ⊥AP时，
，
直线DC的解析式是y=
2
3
x+4，直线AQ的解析式是y=
1
3
x+
2
3
，
直线AP的解析式是y=-3x-6，直线AP与直线DC的交点p（-
30
11
，0），
t=-
30
11
时，△PAQ是以AQ为直角边的直角三角形；
如图3，AQ⊥PQ时，
，
直线DC的解析式是y=
2
3
x+4，直线AQ的解析式是y=
1
3
x+
2
3
，
直线QP的解析式是y=-3x+14，
PQ与DC的交点（
30
11
，0），
t=
30
11
时，△PAQ是以AQ为直角边的直角三角形，
综上所述，t=±
30
11
时，△PAQ是以AQ为直角边的直角三角形．
点评：本题考查了一次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题关键．
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