Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB上的一点，连接DG，交AE于点H，AG=2，DG=2，AD=2

2

．
（1）判断△AGD的形状；
（2）求证：GH是线段AB的中垂线；
（3）求证：AF=2HE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理的逆定理推出即可；
（2）求出AG=BG，即可得出答案；
（3）证△DAF≌△DBC，推出AF=BC，求出∠HBE=∠EHB=45°，求出HE=BE，即可推出答案．

解答：（1）解：∵AG²+DG²=2²+2²=8=（2

2

）²=AD²
∴由勾股定理的逆定理得△ADG是等腰直角三角形；

（2）证明：∵△ADG是等腰直角三角形，
∴∠DAG=∠ADG=45°，∠AGD=90°．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∠BDG=45°，
∴∠DBG=BDG=45°=∠DAB，
∴AG=BG，
∴GD是线段AB的中垂线；
（3）连结HB，
∵△ADG是等腰直角三角形；
∴∠DAG=45°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠DAB=45°，
∴DA=DB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC
∴AE⊥BC，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠C+∠DAF=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠DAF=∠DBC，
在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∠BDC=∠ADF=90° BD=AD ∠DBC=∠DAF

，
∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），
∴BC=AF，
∵DG垂直平分AB，
∵点H在DG上，
∴HA=HB，
∴∠HAB=∠HBA=

1

2

∠BAC=22.5°，
∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，
∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，
∴∠BHE=∠HBE，
∴HE=BE=

1

2

BC，
∵AF=BC，
∴HE=

1

2

AF，
即AF=2HE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．