题目内容
15．
已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$（1）求函数y与x的表达式，并在如图所示的坐标系中画出它的图象；
（2）设（1）中的函数与x轴交于点A，过点C（-1，0）作BC⊥x轴交（1）中函数图象于点B，请在x轴上找一点D，连接BD，使得△BCD与△ABC相似（不包括全等），并求出点D的坐标
（3）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心，1为半径的圆与（1）函数的图象有交点时，求m的取值范围
（4）（2）的条件下，如M、N分别是边AB、AD上的动点，连接MN，设AM=DN=n，问是否存在这样的n，使得△AMN与△ADB相似？若存在，请直接写出n的值；若不存在，说明理由．
分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，①×3+②得到，4x+8y=12，即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，画出一次函数的图象即可．
（2）由△BCD与△ABC相似（不包括全等），推出∠ABD=90°，由△BCD∽△ACB，推出$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，求出CD可得D（-2，0），再根据对称轴可得D′坐标（1，0）也满足条件．
（3）如图3中，当⊙P与直线AB相切时，设切点为E，连接PE，由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，可得$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，推出AP=$\sqrt{5}$，推出OP=3-$\sqrt{5}$，此时m=3-$\sqrt{5}$，当⊙P与直线AB相切于点F时，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此时m=3+$\sqrt{5}$，由此即可解决问题．
（4）这样的m存在．当d（-2，0）时，分两种情形讨论①当MN∥BD时，△AMN∽△ABD．②当MN⊥AD时，△AMN∽△ADB．分别列方程即可解决问题；当D（-1，0）时同法可求．
解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，
①×3+②得到，4x+8y=12，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
函数图象如图1所示．
（2）如图2中，
∵△BCD与△ABC相似（不包括全等），
∴∠ABD=90°，
∵C（-1，0），B（-1，2），A（3，0），
BC=2，AC=4，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC+∠BAC=90°，
∴∠DBC=∠BAC，∵∠BCD=∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{DC}{2}$，
∴CD=1，
∴D（-2，0）．
根据对称性当D′（1，0）时，△BCD′与△ABC相似，
综上所述，当点D坐标为（-2，0）或（1，0）时，△BCD与△ABC相似（不包括全等）．
（3）如图3中，
当⊙P与直线AB相切时，设切点为E，连接PE，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，PE=1，
由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，
∴AP=$\sqrt{5}$，
∴OP=3-$\sqrt{5}$，此时m=3-$\sqrt{5}$，
当⊙P与直线AB相切于点F时，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此时m=3+$\sqrt{5}$，
∴以P为圆心，1为半径的圆与（1）函数的图象有交点时，m的取值范围为3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．
（4）这样的m存在．如图4中，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2$\sqrt{5}$，
当MN∥BD时，△AMN∽△ABD，则$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{n}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-n}{5}$，
解得n=10$\sqrt{5}$-20，
如图5中，
当MN⊥AD时，△AMN∽△ADB，
则 $\frac{AM}{AD}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{n}{5}$=$\frac{5-n}{2\sqrt{5}}$，
解得n=25-10$\sqrt{5}$，
当D（1，0）时，同法可得n的值为$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
综上所述，满足条件的n的值为10$\sqrt{5}$-20或25-10$\sqrt{5}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆与直线的位置关系、二元一次方程组、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形的特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
黄冈冠军课课练系列答案| A． | 若a＞0，b＜0，则$\frac{b}{a}$＞0 | B． | 若a＜0，b＜0，则ab＜0 | ||
| C． | 若a＞b，则a-b＞0 | D． | 若a＞b，a＜0，则$\frac{b}{a}$＜0 |
已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．| A． | a3•a2=a6 | B． | （π-3.14）0=1 | C． | （$\frac{1}{2}$）-1=-2 | D． | $\sqrt{9}$=±3 |
如图，从一个正方形中截取面积为9cm2或12cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为12$\sqrt{3}$cm2．