如图.在平面直角坐标系中.直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别交x轴.y轴于A.B两点．动点P从点O出发沿线段OA以每秒4个单位的速度运动.到点A停止.动点Q从点B出发沿线段BO以每秒3个单位的速度运动.到点O停止.设P.Q两点分别从点O.B同时出发.运动时间为t(秒)．(1)用含有t的代数式分别表示P.Q两点的坐标,(2)若四边形PQBA为梯形.求t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别交x轴、y轴于A、B两点．动点P从点O出发沿线段OA以每秒4个单位的速度运动，到点A停止，动点Q从点B出发沿线段BO以每秒3个单位的速度运动，到点O停止，设P、Q两点分别从点O、B同时出发，运动时间为t（秒）．
（1）用含有t的代数式分别表示P、Q两点的坐标；
（2）若四边形PQBA为梯形，求t的值．
（3）如图1，将△POQ绕点P顺时针旋转90°得到△PCD，当点D落在直线AB上时，求点D的坐标．
（4）如图2，以PQ为对称轴作△POQ的轴对称图形△PEQ，当△PEQ的一边与AB平行时，请直接写出符合条件的所有t的值．

分析（1）求出OQ，OP的长即可解决问题．
（2）如图1中，当PQ∥AB时，四边形PQBA是梯形，可得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，解方程即可．
（3）用t表示点D坐标，代入直线的解析式即可解决问题．
（4）分五种情形分别列出方程即可解决问题．

解答解：（1）由题意BQ=3t，OP=4t，
对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得y=6，令y=0得x=8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴OB=6，OA=8，
∴Q（0，6-3t），P（4t，0）．

（2）如图1中，当PQ∥AB时，四边形PQBA是梯形，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=1．
∴t=1s时，四边形PQBA是梯形．

（3）由题意D（4t+6-3t，4t），即D（t+6，4t），
∵点D在直线y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴4t=-$\frac{3}{4}$（t+6）+6，
∴t=$\frac{6}{19}$s，
∴t=$\frac{6}{19}$s时，当点D落在直线AB上时．

（4）如图2中，
①当PQ∥AB时，由（2）可知t=1s．
②当EQ∥OA时，PE=OP=OQ，即6-3t=4t，∴t=$\frac{6}{7}$s．
③当PE∥OB时，∠OQP=∠QPO=∠QPE=45°，
∴OQ=OP，
∴6-3t=4t，
∴t=$\frac{6}{7}$s．
④当QE∥AB时，如图3中，延长QE交OA于F．
由△PEF∽△BOA得$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PF}{AB}$，
∴PF=$\frac{20t}{3}$，
∴OF=$\frac{32t}{3}$，
∵$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{\frac{32}{3}t}{8}$，
∴t=$\frac{6}{11}$s．
⑤当PE∥AB，如图4中，延长PE交OB于F．
由△QEF∽△ABO，得到$\frac{QF}{AB}$=$\frac{QE}{OA}$，可得QF=$\frac{5}{4}$（6-3t），
∴OF=$\frac{9}{4}$（6-3t），
∵$\frac{OF}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{\frac{9}{4}（6-3t）}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=$\frac{18}{13}$，
综上所述，当△PEQ的一边与AB平行时，t的值为1s或$\frac{6}{7}$s或$\frac{6}{11}$s或$\frac{18}{13}$s．