Question

7．如图，∠ABC=90°，DE=BC，点E在AB上，∠ACD=45°，DE⊥BC于F
（1）∠BAC=75°，EC=3，求△CDE的周长．
（2）求证：AD=AB+EC．

Answer 1

分析 （1）先证出∠DCE=60°，得出∠CDE=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出CD=2EC=6，DE=$\sqrt{3}$EC=3$\sqrt{3}$，即可得出△CDE的周长．
（2）延长AB至G，使BG=CE，连接CG；先由SAS证明△BCG≌△FDC，得出∠CDE=∠BCG，CD=CG，证出∠BCG+∠DCE=90°，得出∠ACG=45°，由SAS证明△DAC≌△AGC，得出AD=AG，即可得出结论．

解答 （1）解：∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACB=45°+15°=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-∠DCE=30°，
∴CD=2EC=6，DE=$\sqrt{3}$EC=3$\sqrt{3}$，
∴△CDE的周长=EC+CD+DE=3+6+3$\sqrt{3}$=9+3$\sqrt{3}$；
（2）证明：延长AB至G，使BG=CE，连接CG，如图所示：
在△BCG与△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=CE}\\{∠CBG=∠DEC=90°}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△FDC（SAS），
∴∠CDE=∠BCG，CD=CG，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠BCG+∠DCE=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACG=45°，
∴∠ACD=∠ACG，
在△DAC与△AGC中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=CG}\\{∠ACD=∠ACG}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△AGC（SAS），
∴AD=AG，
∴AD=AB+EC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．