Question

10．所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2：
例1：分解因式  x²-120x+3456
解：原式=x²-120x+3600+3456-3600
=（x-60）²-144
=（x-60+12）（x-60-12）
=（x-48）（x-72）
例2：化简：$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$
解：原式=$\sqrt{5-2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+2}$
=$\sqrt{（{\sqrt{5}-\sqrt{2}）}^{2}}$
=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$
阅读以上材料，请问答以下问题：
（1）分解因式：x²-40x+319=（x-11）（x-29）；
（2）化简：$\sqrt{10-4\sqrt{6}}$；
（3）利用配方法求4x²+y²-2y-4x+15的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用例1中给出的方法分解因式即可；
（2）利用例2中给出的方法分解因式，进一步开方即可；
（3）分组分解，利用非负数的性质求得最小值即可．

解答 解：（1）x²-40x+319
=x²-40x+400-400+319
=（x-20）²-81
=（x-20+9）（x-20-9）
=（x-11）（x-29）；
（2）$\sqrt{10-4\sqrt{6}}$
=$\sqrt{4-4\sqrt{6}+6}$
=$\sqrt{（\sqrt{6}-2）^{2}}$
=$\sqrt{6}$-2；
（3）4x²+y²-2y-4x+15
=4x²-4x+1+y²-2y+1+13
=（2x-1）²+（y-1）²+13
（2x-1）²≥0，（y-1）²≥0，
所以4x²+y²-2y-4x+15的最小值是13．

点评 此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．