Question

1．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于点D，点C在x轴上，连接CB，tanC=3，且AB=3DB，线段OA、OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x²-4x+3=0的两根．
（1）求点B的坐标；
（2）求双曲线y=$\frac{k}{x}$的函数解析式；
（3）在第一象限内，是否存在一点P，使△BPO与△BCO相似（不包括全等）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先解方程，进而得出AO，CO的长，再利用锐角三角函数的定义得出BO的长，进而得出B点坐标；
（2）利用AO，BO的长进而得出BD的长以及∠OAB=∠ABO=∠DBE=45°，进而得出D点坐标即可得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法分别利用①当△BOC∽△P₁BO时，②当△BOC∽△BP₂O时，③当△BOC∽△OP₃B时，求出答案．

解答 解：（1）∵线段OA、OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x²-4x+3=0的两根，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
故AO=3，CO=1，
∵tanC=3，
∴$\frac{BO}{CO}$=3，
则BO=3，
故点B的坐标为：（0，3）；

（2）如图1，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵BO=3，AO=3，
∴AB=3$\sqrt{2}$，∠OAB=∠ABO=∠DBE=45°
∵AB=3DB，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∴DE=BE=1，
∴D（-1，4），
故xy=-4，
则双曲线y=$\frac{k}{x}$的函数解析式为：y=-$\frac{4}{x}$；

（3）如图2所示：过点B作BP₂⊥OP₁，过点P₂作EF∥OB，
当△BOC∽△P₁BO时，
则$\frac{CO}{BO}$=$\frac{BO}{B{P}_{1}}$，
故$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{B{P}_{1}}$，
解得：BP₁=9，
故P₁（9，3）；
当△BOC∽△BP₂O时，
则$\frac{CO}{O{P}_{2}}$=$\frac{BC}{BO}$，
∵CO=1，BO=3，
∴BC=$\sqrt{10}$，
故$\frac{1}{O{P}_{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
解得：OP₂=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
可得△OAP₂∽△BOC，
则$\frac{F{P}_{2}}{CO}$=$\frac{FO}{BO}$=$\frac{O{P}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
解得：FO=$\frac{9}{10}$，P₂F=$\frac{3}{10}$，
故P₂（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），
当△BOC∽△OP₃B时，
同理可得：P₃（$\frac{9}{10}$，$\frac{27}{10}$），．
综上所述：使△BPO与△BCO相似（不包括全等），点P的坐标为：P₁（9，3），P₂（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），P₃（$\frac{9}{10}$，$\frac{27}{10}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求反比例函数解析式等知识，利用分类讨论、数形结合得出符合题意的P点坐标是解题关键．