Question

5．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为$\sqrt{2}$的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根据题意首先画出图形，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的长，进而得出答案．

解答 解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=$\sqrt{2}$，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，
则EM=DM=1，
故cos30°=$\frac{EM}{EP}$，
解得：PE=PF=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故DP=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则PD+PE+PF=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键．