Question

如图1，在菱形OABC中，已知OA=2

3

，∠AOC=60°，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．
（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．
（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,等腰三角形的性质,菱形的性质,相似三角形的判定

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（Ⅰ）作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式．
（Ⅱ）（1）先求得抛物线的顶点坐标和与x轴的另一个交点坐标，当OP+PC最小时，由对称性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的对角线，即可求得∠AOB=30°，然后通过解直角三角函数即可求得AP的长，进而求得P点的坐标；
（2）先求得△PEF是底角为30°的等腰三角形，根据OC=BC=BD=2

3

，∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因为AQ=4，AG=3，BC=2

3

，所以GQ=1，BG=

3

，所以，tan∠GBQ=

1

3

=

3

3

，即∠GBQ=30°，得出△BQC也是底角为30°的等腰三角形，即可求得符合条件的点M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）如图1，作CH⊥OA于点H，
四边形OABC是菱形，OA=2

3

，∠AOC=60°，OC=2

3

，
OH=sin60°•2

3

=

3

，
CH=cos60°•2

3

=3，
A点坐标为（2

3

，0），
C点的坐标为（

3

，3），
由菱形的性质得B点的坐标为（3

3

，3）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据题意得

c=0 3a+ 3 b+c=3 27a+3 3 b+c=3

，
解得a=-

1

3

，b=

4 3

3

，c=0，
所以，y=-

1

3

x²+

4 3

3

x．

（Ⅱ）（1）如图2，由（Ⅰ）知抛物线的解析式为：y=-

1

3

x²+

4 3

3

x，
即对称轴为x=2

3

，顶点为Q（2

3

，4）．
设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x²-4

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4

3

，
即点D的坐标为（4

3

，0），
∵点A的坐标为（2

3

，0），对称轴为x=2

3

，
且AG⊥BC，
∴直线AG为抛物线的对称轴．
∵B、C两点关于直线AG对称，
∴当OP+PC最小时，
由对称性可知，OP+PC=OB．
即OB，AG的交点为点P，
∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，
∴∠AOB=30°，
∴AP=OAtan30°=2

3

×

3

3

=2，
∴点P的坐标为（2

3

，2）．

（2）连接OB，CD，CQ，BQ，
由（1）知直线AG为抛物线的对称轴，
则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形．
∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物
线的对称轴上，
∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ
∠PEF=∠BOA=30°，
即△PEF是底角为30°的等腰三角形．
在△OBC、△BCD中，
OC=BC=BD=2

3

，∠BOC=∠BDC=30°，
∴△OBC∽△BCD∽△PEF，
∴符合条件的点的坐标为（0，0），（4

3

，0）．
又∵AQ=4，AG=3，BC=2

3

，
∴GQ=1，BG=

3

，
∴tan∠GBQ=

1

3

=

3

3

，
即∠GBQ=30°，
△BQC也是底角为30°的等腰三角形，
∴Q点的（2

3

，4），
∴符合条件的点M的坐标为（0，0），（4

3

，0），（2

3

，4）．

点评：本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定等；连接OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键．