Question

10．如图，AB切⊙O于点B，AC交⊙O于点M、N，若四边形OABN恰为平行四边形，且弦BN的长为10cm．
（1）求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积S．
（2）求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由AB是⊙O的切线，得出OB⊥AB，由四边形OABN是平行四边形，得出AB∥ON，证出△OBN为等腰直角三角形，即可解得OB及S_阴影=S_扇形-S_△OBN；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，AC与OB的交点为G，∠OHN=∠NOG=90°，证得△ONH∽△GNO，得出$\frac{HN}{ON}$=$\frac{ON}{GN}$，求得OG=BG=$\frac{1}{2}$OB、GN、HN，即可得出结果．

解答 解：（1）连接OB，则OB=ON，如图1所示：
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵四边形OABN是平行四边形，
∴AB∥ON，
∴∠OBA=∠BON=90°，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∵BN=10，
∴OB=5$\sqrt{2}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_△OBN=$\frac{90}{360}$×（5$\sqrt{2}$）²π-$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=$\frac{25}{2}$π-25；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，AC与OB的交点为G，如图2所示
∴∠OHN=∠NOG=90°，
∵∠ONH=∠ONG，
∴△ONH∽△GNO，
∴$\frac{HN}{ON}$=$\frac{ON}{GN}$，
∵四边形OABN是平行四边形，
∴OG=BG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴GN=$\sqrt{O{N}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{10}$，
∴HN=$\frac{O{N}^{2}}{GN}$=$\frac{（5\sqrt{2}）^{2}}{\frac{5}{2}\sqrt{10}}$=2$\sqrt{10}$，
∴MN=4$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积与三角形面积的计算等知识；证明三角形相似，由勾股定理求出GN是解决问题的突破口．