Question

1．已知二次函数y=x²+mx+m-2．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标之和等于3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）解一元二次方程，求出二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标，根据题意列出算式，计算即可．

解答 （1）证明：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴△=m²-4m+8，
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴此二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）解：令y=0，得x²+m x+m-2=0，
解得 x₁=$\frac{{-m+{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，x₂=$\frac{{-m-{{\sqrt{{{（{m-2}）}^2}+4}}^{\;}}}}{2}$，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标之和等于3
∴-m=3，
解得，m=-3．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、理解一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．